Начала геометрии. Первые ученые
С чего всё началось?
Геометрия — наука древняя, ей уже несколько тысяч лет. В государствах того времени — Египте и Вавилоне, Индии и Китае — всегда были необходимы строители, землемеры и астрономы. Одни возводили дворцы и пирамиды, другие размечали земельные участки и прокладывали дороги.
Рис. 1
А жрецы следили за движением звёзд, солнца и луны, измеряли по ним время и предсказывали солнечные затмения. Строителей Древнего Египта и Вавилона греки стали называть гарпедонавтами, что на их языке означало «натягиватели верёвок». Это и понятно, ведь для проведения прямых линий они использовали обыкновенную верёвку. С её помощью египтяне чертили на земле не только прямые линии, но и окружности. Чтобы начертить окружность, они привязывали к концам верёвки по колышку, один из них вбивали в землю, а с помощью второго чертили окружность, обходя вокруг первого с хорошо натянутой верёвкой.
Рис. 2
Дополнительная познавательная информация
А знаете, как одной верёвкой можно построить прямой угол? Для этого нужно сделать из неё кольцо, завязать на нём 12 узелков на равных расстояниях друг от друга, а потом натянуть верёвку так, чтобы между узлами — точками натяжения было два, три и четыре узла, как это показано на рисунке 3. Тогда в одном из этих узлов верёвка пойдёт под прямым углом. Почему это работает? Дело в том, что натянутая так верёвка образует треугольник, стороны которого относятся как числа 3, 4 и 5. Такой треугольник называют египетским.
Рис. 3
Само слово «геометрия» с древнегреческого языка переводится как «землемерие». Вот что говорит о происхождении этого слова знаменитый греческий историк Геродот: «Царь Сесострис разделил землю вдоль Нила между всеми жителями и дал каждому по равному квадрату. От этого он стал получать доход, повелев собирать каждый год подать. Если река смывала у кого-то часть его надела, он мог сообщить об этом царю, и тот посылал своих людей измерить, насколько уменьшился участок. Тогда его владелец должен был платить подать соразмерно величине оставшегося у него надела. Мне думается, что так и было изобретено землемерное искусство, а затем уже перенесено в Элладу» (рис. 4).
Рис. 4
Тот же корень «гео-» (земля) вы можете встретить в других словах: «геология», «география» и даже «геолокация».
За много веков в Древнем Вавилоне, Египте, Индии или Китае было собрано множество геометрических фактов (рис. 5). Может показаться странным, но ни в одном из дошедших до нас исторических документов мы не найдём никаких объяснений этим фактам и ни одной попытки доказать их. Возможно, дело заключалось в том, что во всех государствах того времени научными знаниями обладали только жрецы — особое сословие людей. Жрецы участвовали в религиозных культах, писали законы и передавали свои должности по наследству. Любое знание было набором правил или указаний, с которыми никто не спорил. Не нужно было убеждать людей в правильности законов или применяемых ими формул — достаточно было просто сказать: «Делай так». А ведь многие формулы того времени были неточными, а некоторые просто неправильными.
Рис. 5
Геометрия стала наукой, когда с ней познакомились древние греки. Греция была не похожа на другие государства Древнего мира. Маленькие греческие колонии в большом количестве располагались по побережью Средиземного моря (рис. 6). Люди в них жили достаточно свободно, над ними не было единой власти, а жрецы в храмах выбирались самим народом. Власть в этих городах-государствах часто тоже выбиралась народом, а суды были открытыми и публичными. Свою правоту там необходимо было доказывать только другим людям, то есть убеждать их в истине. Так появилась идея, что научная истина рождается в спорах философов. Именно древнегреческие мудрецы стали проверять и доказывать геометрические факты. В этот момент и появилась настоящая геометрия и вообще наука как таковая.
Рис. 6
Фалес из Милета
Рис. 7
Считают, что первым греком, который стал заниматься геометрией, был знаменитый мудрец Фалес (рис. 7). Он жил в городе Милет на берегу Средиземного моря. Это был портовый город, и сам Фалес плавал на кораблях, торговал и много путешествовал. Он несколько лет пробыл в Египте, научился там у жрецов астрономии, счёту времени и возведению речных плотин. Однажды фараон Амасис, желая проверить мудрость Фалеса, попросил его вычислить высоту пирамиды Хеопса. Фалес сумел это сделать, не поднимаясь на саму пирамиду. Он догадался, что в солнечный день все предметы одинаково отбрасывают свои тени. А значит, тень от пирамиды можно вычислить, взяв обыкновенную палку. Вначале Фалес измерил длину основания пирамиды. Потом воткнул в песок палку и стал ждать, когда её тень станет равна длине самой палки. В этот момент он заметил, куда упала тень от вершины пирамиды, и нашёл расстояние от этого места до центра квадрата в её основании (рис. 8). Это расстояние и равнялось высоте пирамиды! Такое рассуждение привело в восторг фараона, и он признал Фалеса великим мудрецом.
Рис. 8
Существует мнение, что именно Фалес первым догадался, что луна на небе светится не сама по себе, а отражает солнечный свет. Но достоверно известно лишь то, что в 585 году до нашей эры он предсказал полное солнечное затмение, после которого стал знаменитым.
Дополнительная познавательная информация
Про Фалеса рассказывали анекдоты. Однажды он шёл по дороге, наблюдая за звёздами, и упал в колодец. Жители Милета стали над ним смеяться: «Думает о небе, а под ноги не смотрит!» Тогда Фалес сумел вычислить, что на следующий год должен быть богатый урожай оливок, и скупил зимой в городе все давильни для масла. На следующий год действительно случился богатый урожай, всем потребовалось его переработать, а Фалес стал сдавать в наём свои давильни и заработал много денег. Так он доказал жителям Милета, что философы тоже могут стать богатыми, но просто к этому не стремятся.
Именно Фалес первым стал объяснять и доказывать геометрические факты — первые теоремы. Так он доказал, что при пересечении двух прямых линий получаются равные друг другу углы; показал, как по сторонам и углам находить на чертежах равные треугольники, и даже объяснил, почему диаметр окружности всегда «виден» из любой её точки под прямым углом (рис. 9).
Рис. 9
Фалес придумал, как с помощью геометрических построений находить расстояние от корабля до берега, не покидая при этом самого берега. Никаких записей Фалеса не сохранилось, но возможный способ вычисления такого расстояния от точки 𝐴 на берегу до корабля в море показан на рисунке 10.
Рис. 10
На берегу Фалес нашёл точку 𝐻1 напротив корабля, затем воткнул шест в точке 𝐴 и отложил по прямой на берегу такое же расстояние: 𝐴𝐻1=𝐴𝐻2. Потом, отойдя от точки 𝐻2, он нашёл место, где шест 𝛷 загораживает корабль 𝐾. Искомое расстояние от берега до корабля равно отрезку 𝛷𝐻2 на берегу.
Пифагор и его школа
Рис. 11
Следующим после Фалеса греческим ученым был Пифагор (рис. 11). Родился он на маленьком острове Самос в Эгейском море. Ещё юношей Пифагор встретился со стариком Фалесом и узнал от него о геометрии. Фалес посоветовал ему плыть в Египет, чтобы продолжать учение. Десять лет провёл Пифагор в Египте, ещё десять лет провёл в рабстве в Вавилоне и снова вернулся на остров Самос. Уже после этого он отправился на юг Италии, где в то время было много греческих колоний, поселился в городе Кротон и основал там свою знаменитую школу. Эта школа была знаменитой: вначале в ней было 200 учеников, потом больше тысячи. Для своих учеников Пифагор был мистиком и пророком: он ходил в белых одеждах, проповедовал презрение к богатству и говорил о переселении душ.
Дополнительная познавательная информация
Пифагор говорил ученикам так: «Боги дали людям две благодати: говорить правду и делать добро». Но главным в его учении было то, что очищение души человека должно достигаться через постоянное занятие математикой, что знание математики приближает человека к богам, ведь даже бог не может сделать так, чтобы дважды два не равнялось четырём! «Всё есть число» — так говорил Пифагор, но имел он в виду только целые числа. Считается, что именно он разделил все числа на чётные и нечётные. Кроме того, числа могли быть квадратные или треугольные. Если число камешков было таким, что из него можно было сложить полный квадрат, это число было квадратным, а если из камешков складывался треугольник, то число было треугольным. Таким образом, даже числа у Пифагора имели вид геометрических фигур (рис. 12 - 13).
Рис. 12. Квадратные числа
Рис. 13. Треугольные числа
Но это ещё не всё: числа могли звучать. Не удивляйтесь — ученики Пифагора изучали ещё и музыку, ведь именно Пифагор изобрёл первую музыкальную гамму. В её основе находились те же целые числа, вернее, отношения этих чисел. Если длины частей струны на монохорде — монохорде — древнем музыкальном инструменте с одной струной (рис. 14) — относились как несколько первых целых чисел, например как 1:2:3, то они звучали «согласно», то есть давали гармонию.
Рис. 14. Монохорд
Пифагор и его ученики открыли, что сумма углов во всех треугольниках одинакова и равна двум прямым углам. Кроме того, они изучали свойства пентаграммы — правильного пятиугольника, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте, и сделали её символом своей школы (рис. 15). Пять концов этой звезды означали для них пять стихий, из которых состоит весь мир: огонь, воду, воздух, землю и эфир. Пифагорейцы нашли отношение отрезков, на которые делят друг друга звенья пентаграммы, и научились строить её циркулем и линейкой.
Рис. 15
Дополнительная познавательная информация
Если пифагореец умирал на чужбине без денег, он просил нарисовать на стене дома пентаграмму. Тогда другой член их братства, увидев этот знак, платил щедрое вознаграждение тому человеку, который ухаживал за больным пифагорейцем. Но самое главное — Пифагору приписывают открытие важнейшей теоремы о прямоугольном треугольнике. Звучит она следующим образом.
Теорема
Если три квадрата своими сторонами образуют треугольник с прямым углом, то больший из этих квадратов по площади равен сумме двух других (рис. 16).
Рис. 16
Дополнительная познавательная информация
Пифагор погиб в результате заговора местной знати: ей не нравилось, что молодые люди оставляют свои дома и уходят учиться в его школу. Но сама школа пифагорейцев не распалась, она ещё долго существовала после его смерти.
Рис. 17
Евклид
Рис. 18
Знаете, какая книга занимает первое место в мире по количеству изданий? Это Библия. А почётное второе место по некоторым данным занимает книга по математике. Она тоже очень старая — это учебник, который написан больше 2000 лет назад. Автором этого учебника был знаменитый греческий учёный Евклид (рис. 18). Всего Евклид написал 13 книг по математике, но первые из них были посвящены именно геометрии. Интересно, что по этим книгам геометрию во всём мире изучали вплоть до XX века. Да и сейчас многие современные учебники содержат целые главы из этих книг. Знаете, как они назывались? В переводе на русский язык «Начала», а на латыни — «Элементы» (рис. 19).
Рис. 19
Дополнительная познавательная информация
Скорее всего, вы уже слышали, что всю математику условно делят на две части: элементарную и высшую. Элементарную по большей части проходят в школе, а высшую — в университетах. Многие думают, что «элементарная» значит «простая». Но это не так: в элементарной математике встречаются очень сложные задачи! На самом деле такое деление объясняется очень просто: к элементарной математике относят те её разделы, о которых говорится в знаменитых «Элементах», то есть в книгах Евклида.
Все знания по геометрии, которые были получены греками раньше, Евклид привёл в единую систему: он дал определения геометрическим фигурам и строго доказал множество теорем, которые называл положениями. А что было совсем очевидным и не удавалось доказать, он назвал аксиомами и постулатами. С аксиомами должны были согласиться все, кто собирался изучать математику. Они служили основой или фундаментом, на котором потом строилось всё «научное здание».
В первой книге «Начал» было восемь аксиом, все они отражали очевидные законы логики, знакомые каждому из вас. Например, первая аксиома гласила следующее: «Равные одному и тому же должны быть равны между собой». А восьмая: «Целое больше своей части». Как с этим не согласиться? Из школьной математики вы знаете, что если к двум частям уравнения прибавить одинаковое число, то само уравнение не изменится. В этом заключалась вторая аксиома Евклида. Постулатами же Евклид назвал аксиомы геометрии. Постулатов у него было всего пять.
Давайте приведём здесь четыре из них.
Аксиомы геометрии Евклида:
1.Между любыми двумя точками можно провести отрезок.
2.Любой отрезок можно сколько угодно продолжать до прямой линии.
3.Из любой точки можно провести круг любого радиуса.
4.Все прямые углы равны между собой.
Эти четыре постулата настолько очевидны, что каждый из вас может проверить их на листе бумаги. Правда, бумага должна быть для этого бесконечной... А вот пятый свой постулат Евклид сформулировал гораздо сложнее, и мы приводить его здесь не будем — разберём его на следующих занятиях.
Евклид жил и работал в Александрии, в городе на севере Африки. Там при Александрийском мусейоне располагалась знаменитая Александрийская библиотека.
Александрийскую библиотеку основал царь Птолемей — один из военачальников Александра Македонского. Со временем его библиотека стала вмещать более 500 тысяч книг (рис. 20). Каждая книга представляла собой свиток — свёрнутую в трубку рукопись на длинной полосе папируса (рис. 21). Библиотека существовала с III века до н. э. по IV век н. э.
Рис. 20. Александрийская библиотека
Рис. 21. Папирус
Дополнительная познавательная информация
Рассказывают, что однажды царь Птолемей решил начать изучать геометрию. Он позвал Евклида и попросил указать ему самый лёгкий для этого способ. Евклид ответил ему так: «В геометрии нет царской дороги!» С тех пор это высказывание стало афоризмом.